第61章 牛人徐武(第2/2 页)
当n=1时，等式左边是 \(1^3 = 1\)，等式右边是 \(\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2 = 1^2 = 1\)，所以当n=1时，等式成立。
当n=k（k是某个正整数）时，等式成立，即 \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2\)。
当n=k+1时，有 \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3\)。
将 \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3\) 替换为 \(\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2\)，得到 \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3\)。
展开并简化表达式，得到 \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + \frac{4(k+1)^3}{4} = \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2(k^2 + 4(k+1))}{4} = \frac{(k+1)^2((k+2)^2 - 4)}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2 - 4(k+1)^2}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} - (k+1)^2\)。
将上式与 \(\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2\) 比较，得到 \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2\)。
因此，当n=k+1时，等式也成立。
由数学归纳法原理，对于所有正整数n，有 \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \l
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